正規標本論と「t分布」「χ2分布」「F分布」のおさらい

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A. １標本の場合
- A-1. 標本平均の標本分布
- A-2. 標本分散の標本分布
B. ２標本の場合（XとYは独立）
- B-1. 標本平均の差の標本分布
- B-2. 標本分散の比の標本分布
参考

文字を以下のように定義します。

母集団	標本（サンプル数 : $n$ ）
母平均 $\mu$	標本平均 $\overline{X}$
母分散 $\sigma^2$	標本分散 $s^2$
母集団分布 $N(\mu, \sigma^2)$

A. １標本の場合

正規母集団に従う確率変数 $X$ を考える。
標本を $X_1, X_2, ... X_n$ 、標本のサンプル数を $n$ とする。

A-1. 標本平均 $\overline{X}$ の標本分布

※ 標本平均 $\overline{X}$ は、母平均 $\mu$ の「不偏推定量」かつ「一致推定量」である。

$E(\overline{X})=\mu, ~~~ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \overline{X}=\mu$

（１）標本平均 $\overline{X}$ の分布（母分散 $\sigma^2$ が既知）

　　→　 $\overline{X}$ は、正規分布: ${\rm N}(\mu,~\sigma^2/n)$ に従う。
　　→　 $\large{\frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}}$ は、正規分布: ${\rm N}(0,~1)$ に従う。

（２）標本平均 $\overline{X}$ の分布（母分散 $\sigma^2$ が未知）

　　→　 $\large{\frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{s^2/n}}}$ (=t値) は、t分布: ${\rm t}\small{(n-1)}$ に従う。

A-2. 標本分散 $s^2$ の標本分布

※ 標本分散 $s^2$ は、母分散 $\sigma^2$ の「不偏推定量」かつ「一致推定量」である。

$E({s^{2}})={\sigma^2}, ~~~ \displaystyle \lim_{n \to \infty} {s^{2}} = {\sigma^2}$

（３）標本分散 $s^2$ の分布

　　→　 $\large{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$ （＝ $\chi^2$ ）は、 $\chi^2$ 分布： $\chi^2\small{(n-1)}$ に従う。

B. ２標本の場合（XとYは独立）

正規母集団に従う互いに独立な確率変数 $X$ と確率変数 $Y$ を考える。
それぞれ標本を $\{ X_1, X_2, ... X_m \}$ , $\{ Y_1, Y_2, ... Y_n \}$ 、標本のサンプル数を $m$ , $n$ とする。

B-1. 標本平均の差 $\overline{X} - \overline{Y}$ の標本分布

（１）標本平均の差 $\overline{X} - \overline{Y}$ の分布（母分散 ${{\sigma_X}^2}, {{\sigma_Y}^2}$ が既知）

　　→　 $\overline{X} - \overline{Y}$ は、正規分布: ${\rm N} \left( {\mu_X}-{\mu_Y}, {\large \frac{{\sigma_X}^2}{m} }-{\large \frac{{\sigma_Y}^2}{n} } \right)$ に従う。

（２）標本平均の差 $\overline{X} - \overline{Y}$ の分布（母分散 ${{\sigma_X}^2}, {{\sigma_Y}^2}$ が未知）

　　→　母集団が等分散である（ $\small{{{\sigma_X}^2} = {{\sigma_Y}^2}}$ ）ならば $\large{\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu_X}-{\mu_Y})}{\sqrt{{\frac{{\large s}^{2}}{m}}-{\frac{{\large s}^{2}}{n}}}}}$ (=t値) は、
　　　　　　 ${\rm t}$ 分布: ${\rm t}(m+n-2)$ に従う。