ぺ ん ぎ ん の 閃 き

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正規標本論と「t分布」「χ2分布」「F分布」のおさらい

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文字を以下のように定義します。

母集団標本(サンプル数 : n
母平均\mu標本平均 \overline{X}
母分散\sigma^2標本分散 s^2
母集団分布N(\mu, \sigma^2)


A. 1標本の場合

正規母集団に従う確率変数Xを考える。
標本を X_1, X_2, ... X_n、標本のサンプル数をnとする。

A-1. 標本平均 \overline{X} の標本分布

※ 標本平均 \overline{X} は、母平均\muの「不偏推定量」かつ「一致推定量」である。

 E(\overline{X})=\mu, ~~~ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \overline{X}=\mu

(1)標本平均 \overline{X} の分布(母分散 \sigma^2が既知)

  → \overline{X}は、正規分布:  {\rm N}(\mu,~\sigma^2/n)に従う。
  → \large{\frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}}は、正規分布:  {\rm N}(0,~1) に従う。

(2)標本平均 \overline{X} の分布(母分散 \sigma^2が未知)

  → \large{\frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{s^2/n}}} (=t値) は、t分布:  {\rm t}\small{(n-1)} に従う。


A-2. 標本分散s^2の標本分布

※ 標本分散 s^2 は、母分散 \sigma^2 の「不偏推定量」かつ「一致推定量」である。

 E({s^{2}})={\sigma^2}, ~~~ \displaystyle \lim_{n \to \infty} {s^{2}} = {\sigma^2}

(3)標本分散 s^2 の分布

  → \large{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}(=\chi^2は、\chi^2分布:\chi^2\small{(n-1)}に従う。


B. 2標本の場合(XとYは独立)

正規母集団に従う互いに独立な確率変数 X と確率変数 Y を考える。
それぞれ標本を  \{ X_1, X_2, ... X_m \},  \{ Y_1, Y_2, ... Y_n \}、標本のサンプル数を m, n とする。

B-1. 標本平均の差 \overline{X} - \overline{Y} の標本分布

(1)標本平均の差 \overline{X} - \overline{Y} の分布(母分散{{\sigma_X}^2}, {{\sigma_Y}^2}が既知)

  → \overline{X} - \overline{Y}は、正規分布:  {\rm N} \left( {\mu_X}-{\mu_Y}, {\large \frac{{\sigma_X}^2}{m} }-{\large \frac{{\sigma_Y}^2}{n} } \right)に従う。

(2)標本平均の差  \overline{X} - \overline{Y} の分布(母分散{{\sigma_X}^2}, {{\sigma_Y}^2}が未知)

  → 母集団が等分散である(\small{{{\sigma_X}^2} = {{\sigma_Y}^2}})ならば\large{\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu_X}-{\mu_Y})}{\sqrt{{\frac{{\large s}^{2}}{m}}-{\frac{{\large s}^{2}}{n}}}}} (=t値) は、
       {\rm t}分布:  {\rm t}(m+n-2)に従う。

  → 母集団が等分散ではない(\small{{{\sigma_X}^2} \neq {{\sigma_Y}^2}})ならばウェルチの近似法を使う。

B-2. 標本分散の比 {{s_X}^2}/{{s_Y}^2} の標本分布

(3)標本分散の比  {{s_X}^2}/{{s_Y}^2} の分布

    → \large{{\frac{{s_X}^2}{{s_Y}^2}}{\cdot}{\frac{{\sigma_Y}^2}{{\sigma_X}^2}}} (=F値) は、 {\rm F}分布:  {\rm F}(m-1, n-1)に従う。


正規母集団の仮説検定については、以下の記事でより詳しく紹介しています。
yul.hatenablog.com


参考

統計学入門 (基礎統計学?)

統計学入門 (基礎統計学?)

完全独習 統計学入門

完全独習 統計学入門