群論入門・写像〜群の定義まで

群論、難しい...。
頭の中でルービックキューブやあみだくじを想像して、なんとか概念を理解したい。

1.写像

1.1 写像に関する諸概念

◯ 写像
集合に対して、集合の各元をそれぞれ集合の1つの元に対応させる。
この操作を「からへの写像」といい、以下のように書く。
\begin{align}
f: X→Y
\end{align}

の元がの元に対応しているとき、を「によるの写像」といい、以下のように書く。
\begin{align}
b=f(a)
\end{align}

◯ の定義域・終域・値域
写像に対して、集合を「の定義域」「の終域」といい、の部分集合を「の値域」といい「」と書く。
\begin{align}
f: X→Y\\
(fの定義域)=X\\
(fの終域)=Y\\
(fの値域)=\{f(x) ~|~ x~{\in}~X\}
\end{align}

◯ の像
の部分集合に対して、以下で示すの集合を「によるの像」といいと書く。
\begin{align}
集合：f(A)~=~\{f(x)~|~x~{\in}~A\}
\end{align}
また、の元に対して、以下で示すの元を「によるの像」といい、と書く。
\begin{align}
元：f(a)~=~\{f(x)~|~x~=~a\}
\end{align}

◯ の逆像
の部分集合に対して、以下で示すの集合を「によるの逆像」といいと書く。
\begin{align}
集合：f^{-1}(B)~=~\{x~{\in}~X~|~f(x)~{\in}~B\}
\end{align}
また、の元に対して、以下で示すの集合を「によるの逆像」といい、と書く。
\begin{align}
集合：f^{-1}(b)~=~\{x~{\in}~X~|~f(x)=b\}
\end{align}

1.2. 単射・全射・全単射

◯ 単射
集合から集合への写像に対して、上の任意の2つの元において、の像がが成り立つとき、写像を「からへの単射」という。
\begin{align}
f: X→Y\\
a~{\neq}~b~{\Rightarrow}~f(a)~{\neq}~f(b)
\end{align}

◯ 全射
集合から集合への写像に対して、の値域がと一致する時、写像を「からへの全射」という。
\begin{align}
f: X→Y\\
\{f(x)~|~x~{\in}~X\}~{\equiv}~Y
\end{align}

◯ 全単射
集合から集合への写像に対して、が「全射かつ単射」である時、写像を「からへの全単射」という。
\begin{align}
f: X→Y\\
a~{\neq}~b~{\Rightarrow}~f(a)~{\neq}~f(b)~かつ~\{f(x) ~|~ x~{\in}~X\}~{\equiv}~Y
\end{align}

2.置換

2.1 置換（および互換）に関する諸概念

◯ 集合上の置換
集合から集合への全単射のうち、とくにであるものを「集合上の置換」という。
n個の元をもつ有限集合の置換は以下のように書ける。
\begin{align}
\left(
\begin{array}{ccc}
a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n \\
f(a_1) & f(a_2) & f(a_3) & ... & f(a_n)
\end{array}
\right)
\end{align}

◯ 集合上の互換
集合上の置換のうち、とくに上の異なる2つの元の取り替え（=交換）になっているものを「集合上の互換」といい「」と書く。
有限集合の互換は以下のように書ける。
\begin{align}
\left(
\begin{array}{ccc}
\alpha & \beta \\
\beta & \alpha
\end{array}
\right)
\end{align}

◯ 恒等置換（恒等写像ともいう）
集合の任意の元を集合のへ対応させる写像も、集合上の置換であるが、これを特に「集合上の恒等置換」といい「」で表す。

◯巡回置換
→略

◯偶置換と奇置換
・定理1：集合上の任意の置換に対して、との合成も上の置換となる。
・定理2：集合上の任意の置換は、次の互換のうち、いくつかの重複を含めた合成によって表される。
\begin{align}
(1~~2), (2~~3), (3~~4), ..., (n-1~~n)
\end{align}
・定理3：集合上の任意の置換は、いくつかの互換の合成置換として表され、「が偶数であるか奇数であるか」は置換に対して一意に定まる。

よって、定理3より、「偶置換」と「奇置換」を以下のように定義する。
ー偶置換：「」とすると、が偶数。
ー奇置換：「」とすると、が奇数。

2.2 置換群

個の元を持つ任意の有限集合に対して、「置換」操作を行うとさまざまな集合が得られる。これらの集合は「n次置換群」「n次対称群」「n次交換群」に整理・分類することができる。

◯ n次対称群 の定義
個の元を持つ任意の有限集合に対して、上の置換全体からなる集合を「n次対称群」といいで表す。は次の性質を満たす。
（S1）の任意の元に対して、はの元である
（S2）の任意の元に対して、結合法則が成り立つ。
　　　
（S3）にある元があって、の任意の元に対して、次の式を満たす。
　　　
（S4）の任意の元に対して、次の式を満たすの元がある。
　　　

◯ n次交代群 の定義
個の元を持つ任意の有限集合に対して、上の偶置換全体からなる集合を「n次交代群」といいで表す。n次交代群はn次対称群の部分集合であるから以下の性質を満たす。
（A1）の任意の元に対して、はの元である
（A2）の任意の元に対して、結合法則が成り立つ。
　　　
（A3）にある元があって、の任意の元に対して、次の式を満たす。
　　　
（A4）の任意の元に対して、次の式を満たすの元がある。
　　　

◯ n次置換群 の定義
一般に、n次対称群の部分集合を「n次置換群」といいで表す。
（G1）の任意の元に対して、はの元である
（G2）の任意の元に対して、結合法則が成り立つ。
　　　
（G3）にある元があって、の任意の元に対して、次の式を満たす。
　　　
（G4）の任意の元に対して、次の式を満たすの元がある。
　　　

3. 群

3.1 群の定義

以下の性質（１）〜（３）を満たす集合を「演算子✳︎に対する群」という。
以下の性質（１）〜（４）を満たす集合を「演算子✳︎に対するアーベル群」という。

（１）演算✳︎に対して「結合法則」が成立。すなわち、集合の任意の元に対して、
\begin{align}
(a~✳︎~b)~✳︎~c~=~a~✳︎~(b~✳︎~c)
\end{align}
（２）演算✳︎に対して「単位元」が存在する。すなわち、集合にある元があって、集合の任意の元に対して、
\begin{align}
a~✳︎~e~=~e~✳︎~a~=~a
\end{align}
（３）演算✳︎に対して任意の元（）の「逆元」()が存在する。すなわち、集合の任意の元に対して、
\begin{align}
a~✳︎~b~=~b~✳︎~a~=~e
\end{align}
（４）演算✳︎に対して「交換法則」が成立。すなわち、集合の任意の元に対して、
\begin{align}
a~✳︎~b~=~b~✳︎~a
\end{align}

coming soon...