確率変数に関する4つの「収束概念」

　確率変数の収束（Convergence of random variables） についてまとめてみました。数理統計学において極限現象の解析は特に重要で、漸近理論、極値理論、大偏差理論などで収束概念は欠かせません。
　解析学において、数列の極限から関数の極限を定義したように、統計学（確率論）においても確率変数列の極限から確率変数の極限を定義します。

1. 確率収束 : convergence in probability

確率変数列 に対して、任意の(どんなに小さな) について、 $$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(~|U_n-U|{\geq}{\varepsilon}~) = 0 \end{eqnarray} $$ が成り立つとき、「確率変数列 は、確率変数 に確率収束する」といい、これを $$ \begin{eqnarray} U_n \underset{~~~~~p}{\to} U \end{eqnarray} $$ と表記する。

2. p次平均収束 : convergence in mean

確率変数列 に対して、 $$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} E \left[~{|U_n-U|}^{~p} \right] = 0 \end{eqnarray} $$ が成り立つとき，「確率変数列 は、確率変数 にp次平均収束する」という。 　
　

3. 分布収束（法則収束）: convergence in distribution (law)

確率変数列 に対して、確率変数 の分布関数 の任意の連続点 で、 $$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P( U_n \leq x ) & = & P( U \leq x) \\ & = & F_U(x) \end{eqnarray} $$ が成り立つとき、「確率変数列 は、確率変数 に分布収束（法則収束）する」といい、これを、 $$ \begin{eqnarray} U_n \underset{~~~~~d}{\to} U \end{eqnarray} $$ と表記する。 　
　

4. 概収束 : almost sure convergence

確率変数列 に対して、 $$ \begin{eqnarray} P\left( \omega~{\large |}~{\lim_{n \to \infty} \left| U_n(\omega)-U( \omega ) \right| =0} \right) = 1 \end{eqnarray} $$

が成り立つとき，「確率変数列 は、確率変数 に概収束する」といい，これを、 $$ \begin{eqnarray} U_n \to U ~~~ a.s. \end{eqnarray} $$ と表記する。 　 　 　 　 　

参考文献

現代数理統計学の基礎 (共立講座 数学の魅力)

現代数理統計学 (創文社現代経済学選書)

入門確率過程