ぺ ん ぎ ん の 閃 き

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確率変数に関する4つの「収束概念」

 確率変数の収束(Convergence of random variables) についてまとめてみました。数理統計学において極限現象の解析は特に重要で、漸近理論、極値理論、大偏差理論などで収束概念は欠かせません。
 解析学において、数列の極限から関数の極限を定義したように、統計学(確率論)においても確率変数列の極限から確率変数の極限を定義します。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/Notions-of-convergence-in-probability-theory.jpg

1. 確率収束 : convergence in probability

確率変数列  U_n := \left\{ U_1, U_2, \dots \right\}に対して、任意の(どんなに小さな)  {\varepsilon}>0について、 $$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(~|U_n-U|{\geq}{\varepsilon}~) = 0 \end{eqnarray} $$ が成り立つとき、「確率変数列 \left\{ U_n \right\} は、確率変数  U確率収束する」といい、これを $$ \begin{eqnarray} U_n \underset{~~~~~p}{\to} U \end{eqnarray} $$ と表記する。


 

2. p次平均収束 : convergence in mean

確率変数列  U_n := \left\{ U_1, U_2, \dots \right\}に対して、 $$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} E \left[~{|U_n-U|}^{~p} \right] = 0 \end{eqnarray} $$ が成り立つとき,「確率変数列 \left\{ U_n \right\} は、確率変数  Up次平均収束する」という。  
 

3. 分布収束(法則収束): convergence in distribution (law)

確率変数列  U_n := \left\{ U_1, U_2, \dots \right\}に対して、確率変数  U の分布関数  F_U(x) の任意の連続点  x で、 $$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P( U_n \leq x ) & = & P( U \leq x) \\ & = & F_U(x) \end{eqnarray} $$ が成り立つとき、「確率変数列 \left\{ U_n \right\} は、確率変数  U分布収束(法則収束)する」といい、これを、 $$ \begin{eqnarray} U_n \underset{~~~~~d}{\to} U \end{eqnarray} $$ と表記する。  
 

4. 概収束 : almost sure convergence

確率変数列  U_n := \left\{ U_1, U_2, \dots \right\}に対して、 $$ \begin{eqnarray} P\left( \omega~{\large |}~{\lim_{n \to \infty} \left| U_n(\omega)-U( \omega ) \right| =0} \right) = 1 \end{eqnarray} $$

が成り立つとき,「確率変数列 \left\{ U_n \right\} は、確率変数  U概収束する」といい,これを、 $$ \begin{eqnarray} U_n \to U ~~~ a.s. \end{eqnarray} $$ と表記する。          

参考

現代数理統計学の基礎 (共立講座 数学の魅力)

現代数理統計学の基礎 (共立講座 数学の魅力)

現代数理統計学 (創文社現代経済学選書)

現代数理統計学 (創文社現代経済学選書)

入門確率過程

入門確率過程

http://kristen-ressurs.no/images/Fysikk/Hilbert-space.jpg http://radhakrishna.typepad.com/.a/6a00d83453b94569e2014e87c56ff9970d-pi